O pensamento dos matemáticos gregos era dominado por três grandes problemas que, justamente por se mostrarem insolúveis, estimulavam a inteligência e a ambição dos geómetras: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo.

A duplicação do cubo consiste em encontrar o lado do cubo do qual o volume é o dobro do volume de um cubo dado; trissecção do ângulo consiste em dividir um ângulo dado em três partes iguais e a quadratura do círculo consiste em encontrar um quadrado de área igual à de um círculo dado.

A duplicação do cubo

Ninguém sabe ao certo quando foi este desafio lançado pela primeira vez, mas a tradição histórica situa-o na época dos pitagóricos, discípulos de Pitágoras (século VI a.C.).

Várias lendas são contadas sobre a origem deste problema. Uma bem conhecida refere-se a uma epidemia entre os habitantes de Atenas, que teriam decidido enviar uma delegação para perguntar ao oráculo da ilha de Delos o que tinham que fazer para apaziguar os deuses. Ao que aquele lhes respondeu que deveriam construir um altar ao deus Apolo, em forma de cubo, e com o dobro do volume de um outro existente na ilha. Tendo eles tentado resolver o problema construindo um cubo cuja aresta fosse o dobro da do altar da ilha, verificaram com surpresa que o novo altar tinha oito vezes o volume do primeiro! E a epidemia continuou...

Tudo leva a crer que rapidamente os geómetras se convenceram de que a construção geométrica pedida não podia ser resolvida dentro das regras estritas da Geometria grega, que apenas autorizava a utilização, como instrumentos de construção, de um compasso e de uma régua não graduada. Só no século XIX, 2400 anos mais tarde, foi finalmente demonstrada essa impossibilidade.

O problema despertou enorme interesse entre os matemáticos gregos, o que é atestado pelo grande número de soluções não ortodoxas encontradas. As fontes directas da história da matemática grega são praticamente inexistentes, e para a descrição de grande parte destas soluções é forçoso recorrer a um texto muito posterior, um comentário sobre uma obra de Arquimedes, escrito já no século V da nossa era por Eustácio, filósofo e matemático da Escola de Alexandria.

A trissecção do ângulo

Apenas no século XIX esta questão ficou definitivamente resolvida e pela negativa: é impossível encontrar um processo que, utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada, permita dividir qualquer ângulo em três partes iguais. Assim, o problema tem solução para 90^o e para 45^o, por exemplo, mas é irresolúvel para os ângulos de 60^o e 3^o.

A quadratura do círculo

Se designarmos por r o raio do círculo dado e por l a nossa incógnita, queremos determinar l tal que , ou seja, .

O problema resume-se então a fazer a determinação de uma constante que é .

Ora a impraticabilidade da quadratura do círculo, fazendo uso apenas de régua não graduada e compasso, foi rigorosa e irrefutavelmente demonstrada.